【动态规划】背包问题

01背包问题

每件物品只有一个，不断对第 i 个物品的状态做出决策，0 / 1 表示选 or 不选

题目在这里

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v~i~ ，价值是 w~i~

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数N，V ，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 v~i~,w~i~ ，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 < N, V ≤ 1000
0 < v~i~, w~i~ ≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

解法

二维

首先定义 f[i][j]：只装前 i 个物品，背包容量为 j 时的最大价值

• 如果当前背包容量小于第 i 个物品体积，那么不能选第 i 个物品，则 f[i][j] = f[i - 1][j]
• 如果当前背包容量大于第 i 个物品体积，那么可以选第 i 个物品
  • 选第 i 个物品时，f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
  • 不选第 i 个物品时，f[i][j] = f[i - 1][j]

上述两式取max即可

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2010;

int v[N]; // 体积
int w[N]; // 价值 
int f[N][N]; // j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(j < v[i]) // 当前背包容量装不进第i个物品
            	f[i][j] = f[i - 1][j];
            else // 能装
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

一维

我们最终要求的只是f[n][m]，背包容量小于 n 时的数据并不需要存储，所以可以优化为一维
f[j]就表示所有物体在背包容量为 j 时的最大价值

在这里需要注意的是，背包容量 j 循环的时候必须从大到小，因为在二维中，f[i][j]是通过f[i - 1][j - v[i]]得来的，如果从小到大循环，我们使用的f[j - v[i]]很有可能是第 i 轮的而不是第 i - 1 轮的，导致结果错误

下面是代码（还优化了下输入）

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m; // n：物品数量 m：背包容积

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w; // v：物品体积 w：物品价值
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- ) // j一定要从大到小遍历
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); // 一种情况是i-1层的f[j] 一种情况是f[j-v]+w
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包问题

01背包问题的升级版，每件物品有无数个可以选，每次遍历循环表示第 i 个物品选了多少个

题目在这里

题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 v~i~，价值是 w~i~。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 < N, V ≤ 1000
0 < v~i~,w~i~ ≤ 1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

解法

f[j]表示在背包容量为 n 时，装前 j 个物品的最大价值
它的决策最优值的过程就是，在第 i 轮循环中，不断对第 i 物品的状态做出决策（选 0 / 1 / 2 …个）

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 选前 i 个物品
    {
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) // 背包容量为 j 
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

多重背包问题

对物品个数继续作出限制，规定每个物品最多使用多少次，求出最大价值

题目在这里

题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 < N, V ≤ 100
0 < v~i~, w~i~, s~i~ ≤ 100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

解法

f[i][j]表示只拿前i个物品,背包空间为 j 时的价值最大值
相当于在之前的基础上多加一层对物品个数的循环

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N]; // v：体积 w：价值 s：数量
int f[N][N]; // f[i][j]表示 只拿前i个物品 背包空间为j 时的价值最大值

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

优化

因为三层循环数据范围大很有可能挂
所以下面对其进行二进制优化

我们知道，所有数都可以转换成 2 的次方的和（因为所有数都可以转换成二进制数）
比如说 7 = 111~(2)~ = 2^0^ + 2^1^ + 2^2^
那我们把 7 用 1、2、4 代替，就成功把 7 个数转换成 3 个数了

之后的步骤与 01背包问题一致

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];

int main()
{
    cin >> n >> m;
	// 二进制优化
    int cnt = 0; // 分组编号
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s)
        {
            cnt ++ ; // 改变组编号
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s > 0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }

    n = cnt;
	// 01背包
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

分组背包问题

对物品数量做出了更严格的限制，对物品进行分组，同组只能选一个

题目在这里

题目

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 S~i~，表示第 i 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 S~i~ 行，每行有两个整数 v~ij~,w~ij~，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 < N, V ≤ 100
0 < S~i~ ≤ 100
0< v~ij~, w~ij~ ≤ 100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例

8

解法

一组一组来，看看每一组加哪一个物品或者是不加，其他步骤与01背包类似

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N]; // s[i]表示种类数
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 只在前 i 组物品中选
    {
        for (int j = m; j >= 0; j -- ) // 此时背包容量 j
        {
            for (int k = 0; k < s[i]; k ++ ) // 目前判断第 i 组第 k 个选不选
            {
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }

    cout << f[m];
    return 0;
}