例题 - 整数划分

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题目

一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。

现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 109+7 取模。

数据范围

1 ≤ n ≤ 1000

输入样例

5

输出样例
7

解法

这个问题可以转化成完全背包问题
从1 - n 中选物品，每种物品有无数个，背包容量 n

状态方程：f[i][j]意为从1 - i中选，合为j的情况
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i] + f[i][j - 2 * i] + … + f[i][j - s * i] ;
（意思就是不选 i + 选一个 i + 选两个 i + ……）
f[i][j - 1] = f[i - 1][j - i] + f[i][j - 2 * i] + … + f[i][j - s * i]
发现这个式子和前面的式子后半部分重合，所以进行替换，得到状态转移方程：
f[i][j] = f[i − 1][j] + f[i][j − i]

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    f[0][0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % mod;
        }
    }
    
   
    cout << f[n][n];
    return 0;
}