A. Tales of a Sort

题意

给出一个数组，每次操作可以将 ==所有== 元素 $a[i]$ 变成 $max(0,a_i-i)$，问至少操作多少次能将数组变成递增数组

思路

这一题卡很久，最后发现踩了两个坑

  1. 题目读错了，每次操作会改变所有元素，而不是指定元素！
  2. 元素 $a[i]>=0$ ，不用考虑负数情况！

我的思路是，另外开一个数组存储原数组排好序的结果，然后从后往前遍历两个数组，计算出原数组末尾有多少元素是已经排好序的，我们在操作的时候就可以不考虑这些元素，直接将未排序的部分全部变成 0 即可，答案就是未排序部分的最大值

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];

    vector<int> b = a;
    sort(b.begin(), b.end());

    int cnt = 0; // 原数组末尾有多少元素已经有序
    long long ans = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
    {
        if (i == 0 && a[i] == b[i]) // 原数组本身就有序
        {
            cout << "0\n";
            return;
        }
        if (a[i] == b[i]) cnt ++ ;
        else break;
    }
    ans = b[n - 1 - cnt]; // 答案就是无序部分的最大值
    cout << ans << '\n';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t -- )
    {
        solve();
    }
}

B. Good Arrays

题意

给出一个数组a

如果数组b满足：

  • ab的相同位上元素都不相等
  • ab数组元素的总和相等

就称b是good数组

现在问是否存在一个good的数组b

思路

这题的思路超级简单，在输入数组a中元素的时候记录下数组a元素的总和sum 和数组a中有多少个1，在数组a中是1的位置上，数组b能填的最小值是2，在数组a不是1的位置上，数组b能填的最小值是1，如果数组b能填的最小值的总和小于数组a元素的总和sum，就说明不存在这样的数组b，反之则存在

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    i64 sum = 0, res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x;
        cin >> x;
        sum += x;
        if (x == 1) res += 2;
        else res += 1;
    }
    if (n == 1 || res > sum) cout << "NO\n";
    else cout << "YES\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t -- )
    {
        solve();
    }
}

C. To Become Max

题意

给出一个数组，每次操作可以把其中一个比它后方相邻元素小的元素加1，问最多 k 次操作后数组中的最大值是多少

思路

二分查找答案，首先可以确定答案的最小值lb就是原数组中的最大值（一次都不操作的情况下），答案的最大值ub就是原数组中最大值+最大操作次数（所有的操作次数全部用在了最大值上），每次取mid = lb + ub >> 1作为当前的最大值

然后从 0 到 n - 1 遍历每一个元素 $a[i]$，判断如果最后的数组中最大值是 $a[i]$ 的话，$a[i]$ 能否在 k 次操作内变成 $mid$

这应该怎么判断呢？

经过观察我们可以发现，对 $a[i]$ 进行操作的前提是 $a[i]<=a[i+1]$，所以想要让 $a[i]$ 变成 $mid$，$a[i+1]$ 至少要是 $mid-1$，$a[i+2]$ 至少要是 $mid - 2$，以此类推，$a[j]$ 至少要是 $mid-(j-i)$

  • 如果 $a[j]$ 满足条件也就是 $a[j]>=mid-(j-i)$，那么当前的 $a[i]$ 一定可以变成 $mid$，直接返回 true
  • 如果 $a[j]<mid-(j-i)$，那我们要想办法把 $a[j]$ 变成 $mid-(j-i)$，因此需要对 $a[j]$ 操作 $mid-(j-i)-a[j]$ 次，由于操作次数有限，如果此时我们剩余的操作次数不够了，就说明 $a[j]$ 不能变成我们想要的数，也就意味着 $a[i]$ 不能变成当前最大值 $mid$

    代码

    #include <bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    void solve()
    {
        int n, k;
        cin >> n >> k;

        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
        int maxx = *max_element(a.begin(), a.end()); // 找数组中最大值

        function<bool(int)> binary = [&](int goal)
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) // 遍历每一个元素 把这个元素变成goal
            {
                int rest = k; // 还剩余的操作次数
                for (int j = i; j < n; j ++ )
                {
                    int require = goal - (j - i); // 把a[i]变成goal需要把a[j]变成require
                    if (require <= a[j]) return true; // 如果a[j]本来就比require大那肯定成立
                    int need = max(require - a[j], 0); // a[j]需要操作的次数
                    if (rest < need) break; // 剩余操作次数不满足就不成立
                    rest -= need; // 原来的操作次数的基础上减去当前步骤操作次数
                }
            }
            return false;
        };

        int ans = 0;
        int lb = 0;
        int ub = maxx + k;
        while (lb < ub)
        {
            int mid = lb + ub + 1 >> 1;
            if (binary(mid)) lb = mid; // 答案在右侧
            else ub = mid - 1; // 答案在左侧
        }

        cout << lb << '\n';
    }

    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0), cout.tie(0);

        int t;
        cin >> t;
        while (t -- )
        {
            solve();
        }
    }